2018考研数学高数考点解析：常微分差分方程和无穷级数

本文将继续根据最新的考研大纲，继续梳理高等数学在数学（一）、数学（二）、数学（三）的公共部分。在这里，对于数学（一）和数学（二）单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学（一）、数学（二）、数学（三）的公共考点。

六、常微分方程

常微分方程是与微积分有紧密联系的一门数学分支、在实际问题中有重要应用。利用常微分方程建立实际问题的数学模型和方程的求解是这部分内容的两个核心问题。

考纲内容：

1、常微分方程的基本概念：了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；

2、变量可分离的微分方程、、齐次微分方程、一阶线性微分方程：掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程；

3、（数一）伯努利方程、全微分方程、可用简单的变量代换求解某些微分方程：会解伯努利和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程；

4、（数一、数二）可降阶的高阶微分方程：会用降阶法解下列形式的微分方程：

5、线性微分方程解的性质及解的结构定理：理解线性微分方程解的性质及解的结构；

6、二阶常系数齐次线性微分方程：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；

7、（数一、数二）高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程：会求解某些高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；

8、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，（数一、数二）以及这些自由项的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

9、（数一）欧拉方程：会解欧拉方程；

10、微分方程的简单应用：会用微分方程解决一些简单的应用问题，（数三）会用微分方程求解简单的经济应用问题。

七、差分方程（数三）

考纲内容：

1、差分与差分方程的概念、差分方程的通解与特解：了解差分与差分方程及其通解与特解等概念；

2、一阶常系数线性差分方程：了解一阶常系数线性差分方程的求解方法。

八、无穷级数（数一、数三）

1、常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念：了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念；

2、级数的基本性质与收敛的必要条件、几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法：了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数与莱布尼茨定理：了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域：理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；

5、幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质、简单幂级数的和函数的求法：掌握幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项积分和逐项求导），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；

本章节的重点：

1、常数项级数的收敛与发散的概念、基本性质与收敛的必要条件，包新卓老师提醒大家，这些概念是级数的基础概念，是后续内容的基础；

2、常用级数的敛散性：几何级数与p级数；

3、能够识别数项级数的类型、具备综合利用性质和主要判别法判断级数的收敛性的能力；

4、会计算幂级数的收敛半径、收敛区间、和收敛域，注意收敛区间与收敛域的区别与联系；

5、注意简单幂级数的和函数的做法，能够灵活利用幂级数的分析性质将函数展开成幂级数。

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