推荐《线性代数应该这样学》(第三版)

推荐《线性代数应该这样学》(第三版)

——谨以此文纪念哈尔莫斯（Halmos，1916-2006）诞辰100周年

作者：林开亮

定价:￥49.00，人民邮电出版社，2016年

作者谢尔登·阿克斯勒（Sheldon Axler）和他的猫，取自其个人主页 http://www.axler.net/

在中国，线性代数一般等同于矩阵论，这主要受华罗庚先生的影响，他的矩阵功底炉火纯青，因此他的学生曾肯成曾经这样说：“龙生龙，凤生凤，华罗庚的学生会打洞。”所谓“打洞”，就是将矩阵用相似变换化成若当（Jordan）标准型（里头有很多的元素为0，即“洞”）。据华罗庚的另一得意弟子陆启铿院士讲，当初邀请华罗庚访问美国普林斯顿高等研究所的外尔（H. Weyl）教授曾这样评价：“华罗庚玩矩阵就像玩数字一样得心应手。”大概是陆启铿先生的话被人听岔了，说这话的外尔教授后来竟然被讹传为韦伊（A. Weil）。稍微了解韦伊的人都知道，他不可能说这话。为什么呢？因为韦伊是法国布尔巴基学派的主力，他跟谢瓦莱（C. Chevalley）都致力于消除代数中的行列式、结式等计算性的概念，而华罗庚是以矩阵计算见长，绝非韦伊所欣赏的风格。这里有罗塔(Gian-Carlo Rota)教授提供的证词：

在这方面，韦伊和谢瓦莱的先驱就是罗塔这里所提到的阿廷（E. Artin），正是根据他跟诺特（E. Noether）的讲义所写的《近世代数》（作者范德瓦尔登）刺激了布尔巴基学派的诞生。希尔伯特（Hilbert）、外尔、阿廷和诺特是近世代数的先驱，近世代数的思想一度在德国盛行。特别的，冯·诺依曼（von Neumann）将这一思想应用到无限维空间的泛函分析中去（受量子力学的刺激），这导致了线性代数的现代化。这方面的第一本书就是冯·诺依曼的助手哈尔莫斯（P.R. Halmos）根据他在普林斯顿的讲义写成的《有限维向量空间》（Finite-Dimensional Vector Spaces）。该书1942年出版，以后多次再版，现在已成经典（期待“图灵”引进中译本，这是我心目中的线性代数圣经）。

眼下这本《线性代数应该这样学》（Linear Algebra Done Right 第三版），可以说，基本上是按照《有限维向量空间》的精神写的一本新书。这是毫不奇怪的，作者Sheldon Axler 正是哈尔莫斯的徒孙，中国的链接是Donald Sarason。Axler写作这本书可以追溯到他在1995年发表在《美国数学月刊》上的一篇阐述性文章“Down with determinants!”，该文次年获得了美国数学协会颁发的Lester R. Ford 奖。

标题取名为“Down with determinants! ”，就是说，要在线性代数的教学中弱化行列式的作用。也许在中国的读者看来，有点不可思议，在通行的线性代数教科书中，行列式通常放在一开头讲的，如果弱化了，后面还怎么讲？事实上，这是完全可以做到的，《线性代数应该这样学》就完全做到了这一点。在全书中，迹和行列式是最后一章，而之前讲完了线性代数所有其它内容，并没有用到这两个概念！

Axler之所以要弱化行列式，也许有两个动机。第一，国外的学生可能要笨一点，怕计算，他希望把这一困难留在最后处理而不至于让学生一开始就被吓趴下；第二，可能是更主要的，他想突出线性代数的本质方面是概念而非计算。正是第二个动机，促使我在这里向读者推荐这本书。

如前所说，线性代数的教学分两派：一派注重代数计算，以华罗庚先生（最终可溯源到美国的代数与数论学家Dickson，中间的链接是杨武之教授，也就是杨振宁的父亲）为代表；一派注重几何直观，以哈尔莫斯（最终追溯到Noether和Artin，中间的链接是冯·诺依曼）为代表。虽然我经受的课堂训练（用北大的经典教材《高等代数》）是华派的，然而只是在我后来用哈尔莫斯的《有限维向量空间》重新学了一遍线性代数以后，我才敢说我对线性代数有了一点底。我希望我说这话时，你不要认为我是在吹牛，我甚至希望这话能得到专业人士的认可，因为我在博士论文中的部分工作，就是用阿廷、冯·诺依曼、哈尔莫斯那一派的几何观念完善了华罗庚先生本人1947年的一项矩阵工作。可以说我是华罗庚先生和哈尔莫斯教授两派结合的产物。

代数计算将线性代数机械化了（我有一次在打乒乓球时感觉每一次回球就像在做一次初等变换），同时也变得有点无聊。要想让它生动起来，除了介绍一些精彩应用的例子外, 一个可行的办法是强调几何的语言。几何的语言, 自然是相对于代数的语言而说的。简单地讲, 就是用线性变换代替矩阵, 用抽象向量代替列向量。几何语言的优点是简洁明快, 例如“作用”这个词给人的感觉就是如此。代数语言的好处是具体清晰, 两个矩阵“相乘”在我们头脑中的图象是一系列具体运算的运作。通常的教科书都过分强调了代数的语言, 这同时也充分暴露了它的诸多缺点。最大的缺点在于容易让人迷失方向(说来奇怪, 明明有基帮助定位, 却不知道真正的位置), 不清楚自己究竟在作什么。这是因为，在很多问题中坐标的选取并不重要,我们所需要的往往只是一些基本的运算规律, 例如分配律、结合律等。这时抽象的几何语言就十分适用了, 例如在内积空间的理论中, 我们往往采用几何语言。我们正是靠这种几何观点来指引具体的代数运算的, 例如所谓Gram-Schmidt正交化, 无非就是将第二个向量沿第一个向量作垂线, 一旦指出这一点, Gram-Schmidt正交化的公式就很容易理解了。更近一步，理解Cauchy-Schwarz不等式就是水到渠成的了：它所对应的无非是这样一个熟知的几何事实——直角三角形的直角边长不超过斜边长。

我要指出，我这里并非说代数计算不好，我想强调的是，要尽可能在在几何直观的指引下做代数计算。我觉得借用阿廷在其名著《几何化的代数》（Geometric Algebra）一书中的一句话来评论Axler的书再好不过了：

我的经验是，一个用矩阵进行的证明，如果你抛开矩阵的话往往可以使这个证明缩短一半。有时，这一点是办不到的，你需要计算一个行列式。

我将Axler的这本书郑重推荐给所有想重新从几何的观点看待线性代数的朋友，所有想从零开始学习线性代数的朋友，该书继承和发扬了哈尔莫斯《有限维向量空间》的几何化特色，以几何胜代数，以概念胜计算！它会告诉你线性代数不是矩阵论，或者更恰当地说，从几何的观点看，线性代数和矩阵论原来是很简单的！你不再需要-矩阵，不再需要分块矩阵，更不必担心复杂的行列式计算会挡住你前行的道路！

根据我的经验，要使线性代数在你心中扎根，你需要读哈尔莫斯。如果你还不习惯读外文教材，那么Axler的《线性代数应该这样学》中译本是目前的首选。

本书的前两版曾在美国近300所院校作为教材使用，作者因此收到了成千上万条反馈意见，可以想见，第三版将何等卓越。当然，作为一个吹毛求疵的读者，作为读过哈莫尔斯之圣经的人，我确实是对作者以及译者有少许建议。这些话我会先告诉他们，之后如果有必要，再跟有兴趣的读者朋友一起分享。预祝你们阅读愉快！

温馨提示1：虽然这本书中穿插着一些幽默的图片与言论，但它更适合比较严肃的读者，特别是数学系的学生。读完这本书，再接触抽象代数，应该会比较容易。

温馨提示2：《线性代数应该这样学》原书在2016年出版了一个删节版，可以在作者的个人主页免费下载：

http://linear.axler.net/LinearAbridged.pdf

* 本文作者林开亮，先后就读于天津大学和首都师范大学数学专业，现任教于西北农林科技大学。热衷数学科普的翻译与写作，曾主持翻译《当代大数学家画传》和《数学与人类思维》，参与翻译《数学家讲解小学数学》。发表的部分作品可见http://math.sjtu.edu.cn/conference/Bannai/2016/talk.php?20160612A

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