2014年山东公务员考试行测辅导：不定方程

不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元 世纪的《张丘建算经

该书方程章第十三题是有名的“五家共井”问题，它的内容是：五户人家合用一口井，若用甲家的绳2条，乙家的绳1条接长，从井口放下去，正好抵达水面;或用乙家的绳3条，丙家的绳1条;或用丙家的绳4条，丁家的绳1条;或用丁家的绳5条，戊家的绳1条;或用戊家的绳6条，甲家的绳1条接长，也都一样正好抵达水面，问井的深度及各家的绳长各为多少?

由于原题包含有两个以上的未知量，它没有给出答案的范围和别的特定条件，因此列出方程后有无穷多组解，这样的方程就称为“不定方程”。

如果该题的长度单位是寸(1尺=10寸，1米=3尺)，那么它的最小正整数解如下：井深721寸，甲家的绳长为265寸，乙家的绳长为191寸，丙家的绳长为148寸，丁家的绳长为129寸，成家的绳长为76寸。

不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程.如果对于方程组来说未知数的个数大于方程组的个数，这样的方程组叫做不定方程组或者叫多元方程组。研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解;②有解时确定解的个数;③求出所有的解.在处理多元的不定方程当中，一般通过联立各个方程，消去那些暂时不用或者限制条件较少的未知数，将多元方程组转化成二元的整系数不定方程进行处理。不定方程在小学奥数题目当中经常出现，比如以下的问题：

【例1】袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是43。问：小明最多摸出几个标有数字2的球?

假设摸出标有数字2，3，5的球分别有x，y，z个那么根据题意可得如下方程组：

消掉z可得

，当y取1的时候x有最大值5，所以最多可以取出5个。标有数字2的球。

由于公考行测数学运算的题目是包含大部分奥数的知识点的，所以在考试当中不定方程的题目经常出现，国考考察的较多，吉林省考在2011年也考察了不定方程的问题， 方程法在数学运算考试当中的应用非常广泛，对于基本的方程和方程组直接用代入消元法和加减消元法可以直接求解，而对于方程当中的不定方程和不定方程组直接求解是求解不了的，在公务员考试当中不定方程主要是通过代入排除法和数字特性的方法解决。比如以下的问题：

【例2】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?( )

A.3，7 B.4，6

C.5，4 D.6，3

假设大盒子的个数为x，小盒子的个数为y，根据题意可得

，代入选项只有A答案符合，不同于小学奥数的做法是由于公考数学运算当中的题目有选项的存在，所以对于部分不定方程的问题我们可以采取代入排除的问题解决。

另外对于不定方程还可以采取数字特性的方法来求解，包括奇偶特性和余数特性，如下面的两道题。

【例3】(吉林2011)一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于20，那么这两个质数的和是( )。

A. 9 B. 8

C. 7 D. 6

设两个质数分别为x，y根据题意可得方程

，20为偶数，2y也为偶数，推出3x必为偶数，那么x即为偶数，并且x还是质数，所以x=2，代入方程可以求得y=7，所以两个质数的和为9。

【例4】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )

A.3 B.4

C.7 D.13

假设大包装盒的个数为x，小包装盒的个数为y，根据题意可得

，99为奇数，12y为偶数，推出5y必为奇数，5y为奇数，则5y的尾数必为5，，说明12x的尾数必为4，并且12x要小于99，那么x只能取2或者7，当x取7的时候代入方程可求得y=3，大小盒子共十个，而题干当中告诉我们用了十多个盒子所以不符合题意，舍去，x只能等于2，解得y=15，所以两种包装盒相差了13个。

在数学运算中不定方程组的解法可以通过消元法和代入排除法求解。

【例5】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱( )。

A.10元 B.11元

C.17元 D.21元

设签字笔、圆珠笔、铅笔每只的价格分别为x、y、z。根据题意可得如下方程组

得到 ，同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用10元钱，或者可以代入选项用代入排除的方法求解也是可以的。

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