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2014年山东公务员考试行测辅导：抽屉原理

来自：查字典教育资讯网 2015-01-02

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以不放，有的可以放8个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。

抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。”抽屉原理分为如下两种情况：

原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

证明(反证法)：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能。

原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

证明(反证法)：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。

抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。抽屉原理的内容简明扼要，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。

比如这样一句话：400人中至少有两个人的生日相同。假设该年是闰年，如果我们将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理可以得知：至少有两人的生日相同.又如：“我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。”“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”这些都是抽屉原理的应用。在数学问题当中一些问题也应用到了抽屉原理比如下面的整除问题和涂色问题。

(一) 整除问题

如果我们把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。我们来看以下这类整除问题当中抽屉原理的应用。

【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。

(二)涂色问题

【例2】正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色)，证明正方体一定有三个面颜色相同.

如果把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据抽屉原理二，至少有三个面涂上相同的颜色.

抽屉原理在国考当中考察了很多次，比如下面的三道题目，在抽屉原理当中，制造抽屉是运用原则的一大关键，那么我们用抽屉原理来求解下国考当中考察抽屉原理的三个题目。

【例3】(2004年国家B类)有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒( )

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

把4种颜色看作4个抽屉，要符合题意，则珠子的的数目必须大于4，故至少取出5粒珠子才能符合要求。

【例4】(2007年国家)从一副完整的扑克牌中，至少抽出( )张牌，才能保证至少6张牌的花色相同。

A. 21 B. 22

C. 23 D. 24

四种花色的牌各取5张，再取大王、小王各1张，一共22张，这22张牌中，没有六张牌的花色相同。这样，如果任意再取1张的话，一定有一种花色的牌有六张。